Algèbre linéaire Exemples

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 123 - 9 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 12 \\ 3 \\ - 9 \end{array}]$

Étape 1

Write as an augmented matrix for

A x = 0

$A x = 0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 12 & 0 3 & 0 - 9 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 12 & 0 \\ 3 & 0 \\ - 9 & 0 \end{array}]$

Étape 2

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

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Étape 2.1

Multiply each element of

R_{1}

$R_{1}$ by

\frac{1}{12}

$\frac{1}{12}$ to make the entry at

1, 1

$1, 1$ a

1

$1$ .

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Étape 2.1.1

Multiply each element of

R_{1}

$R_{1}$ by

\frac{1}{12}

$\frac{1}{12}$ to make the entry at

1, 1

$1, 1$ a

1

$1$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} \frac{12}{12} & \frac{0}{12} 3 & 0 - 9 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{12}{12} & \frac{0}{12} \\ 3 & 0 \\ - 9 & 0 \end{array}]$

Étape 2.1.2

Simplifiez

R_{1}

$R_{1}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 3 & 0 - 9 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 3 & 0 \\ - 9 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 3 & 0 - 9 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 3 & 0 \\ - 9 & 0 \end{array}]$

Étape 2.2

Perform the row operation

R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ to make the entry at

2, 1

$2, 1$ a

0

$0$ .

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Étape 2.2.1

Perform the row operation

R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ to make the entry at

2, 1

$2, 1$ a

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 3 - 3 \cdot 1 & 0 - 3 \cdot 0 - 9 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & 0 - 3 \cdot 0 \\ - 9 & 0 \end{array}]$

Étape 2.2.2

Simplifiez

R_{2}

$R_{2}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 0 & 0 - 9 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ - 9 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 0 & 0 - 9 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ - 9 & 0 \end{array}]$

Étape 2.3

Perform the row operation

R_{3} = R_{3} + 9 R_{1}

$R_{3} = R_{3} + 9 R_{1}$ to make the entry at

3, 1

$3, 1$ a

0

$0$ .

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Étape 2.3.1

Perform the row operation

R_{3} = R_{3} + 9 R_{1}

$R_{3} = R_{3} + 9 R_{1}$ to make the entry at

3, 1

$3, 1$ a

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 0 & 0 - 9 + 9 \cdot 1 & 0 + 9 \cdot 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ - 9 + 9 \cdot 1 & 0 + 9 \cdot 0 \end{array}]$

Étape 2.3.2

Simplifiez

R_{3}

$R_{3}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 0 & 0 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 0 & 0 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 0 & 0 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

x = 0

$x = 0$

0 = 0

$0 = 0$

0 = 0

$0 = 0$

Étape 4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

[\begin{matrix} x \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} x \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \end{array}]$

Étape 5

Write as a solution set.

{[\begin{matrix} 0 \end{matrix}]}

${[\begin{array}{c} 0 \end{array}]}$